線性代數思想總結(必備18篇)_線性代數思想總結

線性代數思想總結(必備18篇)。

● 線性代數思想總結 ●

摘要：線性代數課程內容具有一定的抽象性，是高校公共數學教學的重點和難點之一。

指導學生熟練掌握具有應用性的知識，培養抽象思維和邏輯推理能力，是高校教師義不容辭的責任和進行教學改革的主要方向。

線性代數課程內容具有一定的抽象性，是高校公共數學教學的重點和難點之一。

信息技術迅猛發展的今天，學科間不斷地相互交叉、滲透，作為基礎科學的數學更顯示出它的廣泛應用性。

指導學生熟練掌握具有應用性的知識，培養抽象思維和邏輯推理能力，是高校教師義不容辭的責任和進行教學改革的主要方向。

目前獨立學院線性代數教學面臨的情況，較為突出的有兩個方面。

首先，教學對象即學生在快節奏的環境中成長，與以往精英教育時代學生最大的不同在于，他們思想活躍興趣廣泛，渴望學習新事物新知識，希望從老師那里學到更新、更具有實用價值的知識，這是他們的優勢和特點，然而他們的生活娛樂方式多樣化，節奏又快，微博、手機、QQ、看小說等情形課間隨處可見，無形中對新時期教師授課提出更高的要求;其次，多年來線性代數課程教學內容基本沒有太大變化。

從行列式、矩陣、線性方程組求解、向量空間到二次型，但獨立學院教學學時要減少到32課時且都是大班授課，學生數學基礎薄弱、獨立且思考能力較差，趕進度似的匆忙輸入這些內容，不可避免地使學生對線性代數產生排斥和抵觸情緒。

為此教師必須精心組織教學內容，在傳統教學的基礎上尋找新的教學方式，達到提高教學質量和教學效果的目的。

本文結合所在獨立學院的教學實踐，談談自己的體會。

仔細看整個線性代數可以理解為圍繞著線性方程組的求解展開，從開始行列式的介紹，為解決一類特殊的線性方程組鋪墊，其中方程個數與未知量個數一樣，之后的萊姆法則利用行列式工具把這一問題理論上解決了。

但實際計算起來未知量個數越多計算量越大，并且對于未知量個數與方程個數不等的線性方程組，此法則顯然不適用，主要原因是方程組的系數已經不能構成行列式。

有人就會問：“方程個數與未知量個數不一樣時線性方程組如何求解”?由此開啟矩陣板塊的學習。

矩陣是線性代數這門課程最重要的工具，一般方程組的具體求解和判定理論都化為矩陣的相關問題，對矩陣的方法掌握得好壞直接影響到整門課程的學習，可以從經濟學中的投入產出模型和通路矩陣等實際例子引入矩陣為一數表的概念，相關性質這部分內容必須精講。

之后用消元法求解線性方程組，這一最基本的思想學生在高中有過接觸，選擇兩道二階和三階階線性方程組為引例，先把消元法的思想交代清楚，強調保證同解只會實施三種行初等變換，關鍵還要將每一步求解用矩陣與之對應表示，使學生清晰地看到線性方程組的求解過程完全等同于將其增廣矩陣化為標準形的過程，這是獨立學院線性代數教學的重點。

這前三章的教學內容必須保證學生絕大部分都能充分理解并熟練掌握。

第四章《向量的線性相關性》概念非常抽象。

學生對“向量間的線性相關與線性無關”的定義接受起來總是很困難，多年來一直是學生學習線性代數的難點。

如何克服這個教學難點?首先在宏觀上要做好與上一章節的銜接，研究對象依然是線性方程組，對齊次線性方程組我們換個角度看它，橫看成嶺側成峰，寫成向量形式便得到系數矩陣列向量之間的關系式。

此時開始引導學生明白這一關系式的作用，在空間解析幾何上有其對應的幾何意義，系數矩陣的列向量能否通過尺度伸縮變換和平行四邊形法則回到原點，因此原來齊次線性方程組有非零解時，系數矩陣的列向量能夠齊心協力回到原點。

從而將向量的線性相關性概念與大家熟悉的線性方程組聯系起來，新問題的研究全部化為線性方程組解的判定以及它的主要工具——矩陣問題。

在這一章要給學生建立線性方程組—矩陣形式—向量形式“三位一體”的模型，形式不同實質一樣，這一模型的建立和相互間的轉化在本章和后續章節學習中至關重要。

那么研究向量的線性相關性對線性方程組又有什么貢獻呢?慢慢給學生撥開迷霧，有了向量的線性相關與線性無關的概念，就會很自然地有了向量組的極大無關組概念。

啟發學生思考：有一特殊的向量，齊次線性方程組有非零解時的解空間，它的極大無關組是什么樣子呢?繼而得到線性方程組解的結構理論，對比上一章按部就班的具體求解，深化了我們對線性方程組解空間的認識，對空間的面貌有了清晰準確的把握。

第五章也可以從線性方程組開啟，將同學們非常熟悉的AX=b形式稍作修改為AX=y，這便是Rn→Rn空間的映射，不同于高等數學中的普通函數，舉個簡單的二位圖案經此類線性映射后形狀發生了較大的變化，學生有了一個形象直觀的感覺。

結合例子提出問題，強調該變換中有一現象非常值得關注，即AX與y平行，從而引入矩陣“特征值和特征向量”的概念，步步逼近為什么叫矩陣的“特征值和特征向量”，反饋出矩陣什么樣的特征呢?從而導出矩陣的可對角化問題，其中實對稱矩陣的正交相似對角化問題在工程技術上有著廣泛的應用，第六章的二次型可以理解為這一舊問題的重新包裝。

整門課程安排上緊緊圍繞中心問題，合理布局，把不同的知識串在一起，以前看起來零散的內容，忽然不再繁雜了，成為一個有機的整體。

這種分析能力同樣適用于我們平時的日常生活。

課堂上教師以講清主干概念為原則，枝節問題留給學生去思考、歸納，同時加入相應背景知識以增加課堂信息量。

上課前要交待清楚講授的主要問題是什么，然后引導學生共同逐一地解決這些問題，把學生擺在解決問題的主人翁的位置，而不是要求學生被動地聽課。

注意講課的藝術性，善于提出問題并向學生尋求答案，鼓勵大家思考甚至討論也是素質教育的體現。

比如正交矩陣概念的引入，可以讓學生自己動筆算算空間中n個標準正交組作列構成的矩陣，其轉置與自身的乘積有什么樣的效果，從而水到渠成地得到一類新的特殊矩陣，正好把以前學過的矩陣家族里的特殊成員一并復習一下。

對提出的問題一步步深入，一個個解決。

做到語言簡練而不重復，重點地方應加強語氣放慢速度引起重視，讓學生一字一句聽得清清楚楚，同時給學生一種緊迫感，讓學生感覺到思維一停頓就會脫節接不上，保證上課全神貫注注意聽講。

當學生身臨其境地經歷提出問題、討論問題、解決問題的過程后，最終目的還是要引導他們學會發現并找到結論，找到一個新的知識點，形成一個新的數學概念。

獨立學院學生普遍不喜歡推敲抽象的理論和內容上串講章節的基本概念和重點，他們比較樂于接受直接講題做題，因此因材施教選取一些具有代表性的例子，哪怕是以前講過的典型例子都可以拿過來，總結出其中的規律，理清思路，點明解決的方法，從而做到舉一反三，以點帶面，通過例子使學生充分理解、掌握基本內容和方法。

教師僅僅從教材本身來講解本課程是不夠全面的，倘若能借助各方面的知識，運用多種教學手段如matlab在線性代數中的應用舉例，全方位地進行立體多維教學，對學生而言更有吸引力。

這對教師便提出了更高的要求，在課余時間多看相關參考書和資料，擴大自己的知識面，這樣做無論對于教學工作、教師的自我成長和提升都有百利而無一害，參加全國教師網絡培訓和高校教師的暑期學校也是不錯的選擇。

另外，相比一般普通本科學校學生，獨立學院學生有兩類特征鮮明：一部分學生高中基礎知識相對不錯，進校后卻產生迷茫找不到方向，應鼓勵他們充分發揮自身潛力，盡快進行四年大學學習生活職業規劃，他們是優秀班風良好學風構建的核心力量，極有可能將來成為本屆學生的佼佼者和學院樹立的`標桿榜樣;另一部分學生是在比較優越的家庭環境中長大，習慣于對家長和老師的依賴，有一定的學習積極性但不穩定，遇到困難缺乏積極主動意識，倘若教師實時給予鼓勵啟發他們多思考，學會去圖書館查閱資料或與同學交流尋求幫助，這部分學生可以與前部分相得益彰，成為構建和諧向上的學習氛圍的中流砥柱。

作為教師在教書的同時不忘育人，掌握他們的心理特點和需求，有了學生熱情互動和參與，教學才會變得流暢實現教學相長。

參考文獻：

[1]趙慧斌.問題驅動是線性代數有效的教學法之一[J].高等數學研究，2008，(4).

[2]周玲.《線性代數》課程教學點滴談[J].大學數學，2005，(8).

【摘要】本文總結了作者上線性代數課的一些經驗，老師應該向學生講清楚為什么必須學線性代數，要抓住核心內容和核心方法，要積累一些反例，要培養學生的團隊合作精神，對優秀學生要進行特別培養，努力提高研究生升學率.

● 線性代數思想總結 ●

考研數學線性代數相比較高等數學和概率論的復習而言，呈現明顯的知識點，概念多、定理多、符號多、運算規律多、內容相互縱橫交錯，知識前后緊密聯系。因此，考研數學線性代數暑期復習重點應充分理解概念，掌握定理的條件、結論、應用，熟悉符號意義，掌握各種運算規律、計算方法，并及時進行總結，抓聯系，使學知識能融會貫通，舉一反三。為了讓考生在暑期復習中能將線性代數提高到一個新的層次，這里數學輔導名師給大家重點說一下歷年考研重點及復習思路。

1。行列式的重點是計算，利用性質熟練準確的計算出行列式的值。

2。矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運算，其運算分兩個層次：

3。關于向量，證明(或判別)向量組的線性相關(無關)，線性表出等問題的關鍵在于深刻理解線性相關(無關)的概念及幾個相關定理的.掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。

4。向量組的極大無關組，等價向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關系也是重點內容之一。用初等行變換是求向量組的極大無關組及向量組和矩陣秩的有效方法。

5。于特征值、特征向量，要求基本上有三點：

(1)要會求特征值、特征向量，對具體給定的數值矩陣，一般用特征方程OλE-AO=0及(λE-A)ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關矩陣的特征值(的取值范圍)，可用定義Aξ=λξ，同時還應注意特征值和特征向量的性質及其應用。

(2)有關相似矩陣和相似對角化的問題，一般矩陣相似對角化的條件。實對稱矩陣的相似對角化及正交變換相似于對角陣，反過來，可由A的特征值，特征向量來確不定期A的參數或確定A，如果A是實對稱陣，利用不同特征值對應的特征向量相互正交，有時還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2(λ2≠λ1)對應的特征向量，從而確定出A。

(3)相似對角化以后的應用，在線性代數中至少可用來計算行列式及An。

6。將二次型表示成矩陣形式，用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個：

(1)化二次型為標準形，這主要是正交變換法(這和實對稱陣正交相似對角陣是一個問題的兩種提法)，在沒有其他要求的情況下，用配方法得到標準形可能更方便些。

(2)二次型的正定性問題，對具體的數值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關矩陣的正定性時，可利用標準形，規范形，特征值等到證明，這時應熟悉二次型正定有關的充分條件和必要條件。

● 線性代數思想總結 ●

（一）數的認識

整數【正數、0、負數】

一、一個物體也沒有，用2、3……都是自然數。自然數是整數。

二、最小的一位數是1，最小的自然數是0。

三、零上4攝氏度記作+4℃；零下4攝氏度記作-4℃?！?4”讀作正四?！?4”讀作負四。 +4也可以寫成4。

四、像 ++--7、-155這樣的數都是負數。

五、0既不是正數，也不是負數。正數都大于0，負數都小于0。

六、通常情況下，比海平面高用正數表示，比海平面低用負數表示。

七、通常情況下，盈利用正數表示，虧損用負數表示。

八、通常情況下，上車人數用正數表示，下車人數用負數表示。

九、通常情況下，收入用正數表示，支出用負數表示。

十、通常情況下，上升用正數表示，下降用負數表示。

小數【有限小數、無限小數】

一、分母是1000……的分數都可以用小數表示。一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……

二、整數和小數都是按照十進制計數法寫出的數，個、十、百……以及十分之一、百分之一……都是計數單位。每相鄰兩個計數單位間的進率都是10。

三、每個計數單位所占的位置，叫做數位。數位是按照一定的順序排列的。

四、小數的性質：小數的末尾添上“0”或去掉“0”，小數的大小不變。

五、根據小數的性質，通?？梢匀サ粜的┪驳摹?”，把小數化簡。

六、比較小數大小的一般方法：先比較整數部分的數，再依次比較小數部分十分位上的數，百分位上的數，千分位上的數，從左往右，如果哪個數位上的數大，這個小數就大。

七、把一個數改寫成用“萬”或“億”作單位的數，在萬位或億位右邊點上小數點，再在數的后面添寫“萬”字或“億”字。

八、求小數近似數的一般方法：1先要弄清保留幾位小數；2根據需要確定看哪一位上的數；3用“四舍五入”的方法求得結果。

九、整數和小數的數位順序表：

分數【真分數、假分數】

一、把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。表示其中一份的數，是這個分數的分數單位。

二、兩個數相除，它們的商可以用分數表示。即：a÷b=b/a（b≠0）

三、小數和分數的意義可以看出，小數實際上就是分母是1000…的分數。

四、分數可以分為真分數和假分數。

五、分子小于分母的`分數叫做真分數。真分數小于1。

六、分子大于或等于分母的分數叫做假分數。假分數大于或等于1。

七、分子和分母只有公因數1的分數叫做最簡分數。

八、分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（零除外），分數的大小不變。

九、小數的性質和分數的基本性質一致的，應用分數的基本性質，可以通分和約分。

百分數【稅率、利息、折扣、成數】

一、表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數。百分數也叫百分率或百分比，百分數通常用“%”表示。

二、分數與百分數比較：

不同點

相同點

分 數

可以表示具體數量，可以有單位名稱

表示兩個數之間的關系

百分數

不可以表示具體數量，不可以有單位名稱

三、分數、小數、百分數的互化。

（1）把分數化成小數，用分數的分子除以分母。

（1000……的分數，再約分。

（3）把小數化成百分數，先把小數點向右移動兩位，然后添上百分號。

（4）把百分數化成小數，先去掉百分號，然后把小數點向左移動兩位。

（，再把小數化成百分數。

（6）把百分數化成分數，先把百分數改寫成分數，能約分的要約成最簡分數。

四、熟記常用三數的互化。

五、

1、出勤率表示出勤人數占總人數的百分之幾。

2、合格率表示合格件數占總件數的百分之幾。

3、成活率表示成活棵數占總棵數的百分之幾。

六、求一個數比另一個數多百分之幾，就是求一個數比另一個數多的占另一個數的百分之幾。

七、少的÷“1”= 少百分之幾

八、應得利息是稅前利息，實得利息是稅后利息。

九、利息 = 本金 × 利率 × 時間

十、應得利息 －利息稅 = 實得利息

十一、幾折表示十分之幾，表示百分之幾十；幾幾折表示十分之幾點幾，表示百分之幾十幾。

十二、

1、原價×折扣=現價

2、現價÷原價=折扣

3、現價÷折扣=原價

十三、幾成表示十分之幾表示百分之幾十；幾成幾表示十分之幾點幾，表示百分之幾十幾。

● 線性代數思想總結 ●

第一章 習題A

1. 1. 設有三階行列式D,其中第3列元素依次為1,3,-2,它們對應的余子式依次為3,-2,1, 求D

解:由Dn a1jA1j a2jA2j ... anjAnj(j 1,2,...,n)有: D a13A13 a23A23 a33A33 1 3 3 ( 2) ( 2) 1 7

a1 kb1

b1 c1c1a1b1c12. 證明 a2 kb2

b2 c2c2 a2

b2c2

a3 kb3b3 c3c3a3b3

c3

a1 kb1

b1 c1c1

a1

b1 c1c1

kb1

b1 c1c1證明: a2 kb2

b2 c2c2 a2

b2 c2c2 kb2

b2 c2c2 a3 kb3

b3 c3

c3a3b3 c3

c3kb3

b3 c3

c3

a1b1c1a1c1c1kb1b1 a2

b2c2 a2c2c2 kb2b2a3

b3c3a3c3

c3kb3b3

a1

b1c1 a2

b2c2 a3

b3

c3

3. 利用性質計算下列三階行列式:

2

01

1 a12 a13 a1 (1) 1

4 1; (2) a2

2 a23 a2 1831 a32 a3

3 a3

ab

acae

x 1 1

(3) ad

cd

de; (4) 1x 1;

bfcd ef0 1x 1

2

1解:(1)

1 4 1 2 4 1 1 1 4

2 ( 4) 1 4 183

83 18

4c1kb1c2 kb2c3kb3

c1c1c2c2c3

c3

線性代數習題答案第一章

1 a1

2 a13 a12 a13 a1a12 a13 a1 (2) a2

2 a23 a2 2 a23 a2 a22 a23 a2 a3

2 a3

3 a32 a33 a3a3

2 a3

3 a3

23 a1a13 a1a123 a1a1 23 a2 a23 a2 a223 a2 a223 a3a33 a3a323 a3a3

a13 a1a1

23 a1 a23 a2 a223 a2 a3

3 a3a323 a3

a1

3

a1

a1a1

23

a12a1 a2

3 a2a2 a223 a22a2 a3

3a3a3a323a3

2a3

ab

acae aaa aaa (3) bd

cdde=bced dd bced

dd bf

cf

efff fff f 1

1

1

2

=abcdef1

11 abcdef0 22 1

1 111 1

abcdef ( 2)

02

1 1

4abcdef

x 1 1

(4) 1

x 1=(x 1)x 1 ( 10

1x 1

1x 1 1)( 1)3

1x 1

=(x 1)(x2

x 1) (x 1) (x 1)(x2

x 2) =(x 2)(x2

1)

4. 計算下列四階行列式:

a13 a1a23 a2a3

3 a3

線性代數習題答案第一章

01 (1)

1201解:(1)

12 1 121 1 121 10 11 10 11221

422

; (2)

2011020

120

20 1 12

1

21 102= 1 ( 1)31001 12

3

0031 4

0 2

4

111 1

.

99981 2

12 12 1 4

= 1

24

12 ( 1)( 1)3 4

4 10

04 10

2111211421 1632

(2)

201102 999854 197121 2543

63

= 5

1

632

1 ( 1)554 197 0

543

63

4 197 200 1800

54

00200

2

5. 計算下列n階行列式:

a0

(1) Dn

0a000a00

00a000

a0

10

; (2) Dn

xaa

a0

=

a

n 2

axa

0010

10

aax

.

01a0

解:(1) Dn

0a100a

100

01010a

1...

an 2(a

00

a

n 2

............0...1000...1 1 ( 1)n 10...a0...

0......0......110) ...0

(a2 ( 1)n 1 1 ( 1)n) an 2(a2 1)

線性代數習題答案第一章

11

(2) Dn (x (n 1)a)

...

aax1

10

(x (n 1)a)

...0

xa

ax

aa

6. 判定齊次線性方程組

a...x.........a...ax a...0aa ...x...a...0

.........x a

(x (n 1)a)(x a)n 1

x1 3x2 2x3 0,

2x1 x2 3x3 0,

3x 2x x 0

23 1

有無非零解.

解:齊次線性方程組的系數行列式為:

1

A 2

32132132

13 0 7 1 0 7 1 42 0

32 10 7 700 6

而齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數行列式不等于零 . 則該齊次線性方程組沒有非零解.

7. 設齊次線性方程組

3x1 kx2 x3 0,

4x2 x3 0,

kx 5x x 0

23 1

有非零解,求常數k. 解:有非零解的.充要條件是

41 14kD 041 3 k ( 1) (k 3)(k 1) 0

5 141

k 5 1

故k 1或k 3時,有非零解.

3k 1

線性代數習題答案第一章

習題B 1. 填空題：

a11

(1)設a21

a12a22a32

a13 2a11 2a12 2a32 2a22a11

a12a32a22

2a13

2a33 2a23

a13

a11

a12a22a32

a13

a23 8 2 16 a33

a31 2a11

解: 2a31

a23 2,則 2a31a33 2a21

2a13

2a12 2a32 2a22

a1

2a21

2a33 ( 2)3a31 2a23a21

1

1

a33 ( 8)( 1)a21

a23a31

(2) 三階行列式

1

11

1 a21 11 a31

a10

1

1

1

a1

解：

11

1 a21 11 a3

a a31

a2 a3 (1 a1)2 1 ( 1)3

11 a3a2

11 a3

1 a3

(1 a1)(a2 a2a3 a3) ( a3 a2) a1a2a3 a1a2 a2a3 a3a1

1 a

(3). 四階行列式

00

123 aa0解:

0 aa00 a

4

0a1234

334

03a3a4a

a3 110

0 aa0

0 11

00 aa

10343

a(3 ( 1)( 1)3) 10a3

11 11

(4). 已知

2

a a040 0a

30a a

n階行列式D, 其中元素aij的代數余子式為Aij, 則

aniAnj a1iA1j a2iA2j

解:由ai1Aj1 ai2aj2 ... ainAjn D ij

D,i j

得

0,i j

● 線性代數思想總結 ●

理解二次型標準化的過程，掌握實對稱矩陣的對角化。二次型幾乎是每年必考的一道大題，一般考查的是采用正交變換法將二次型標準化。掌握二次型的標準形與規范型之間的區別與聯系。會判斷二次型是否正定的一般方法。討論矩陣等價、相似、合同的關系。

雖然線性代數在考研數學考試試卷中僅有5題，占有34分的分值，但是這34分也不是很輕松就能拿下的。小伙伴們在復習過程中需要對于基礎知識點理解透徹，做考研數學題過程中多分析總結。

● 線性代數思想總結 ●

那么線性代數如何復習才能在考試時把所有相關分數收入囊中呢?

對大多數同學來說，線性代數所占分值的33分怎么也比不上高等數學所占的84分重要，所以在復習的時候在心理上就給了分值多的科目更多的關注，而且不論是基礎班、強化班還是沖刺班的復習都是從高等數學開始切入，這導致潛意識上對線性代數的疏遠。這種狀況需要糾正。線性代數的內容不多，重點也很突出，容易掌握，滿分是完全可能的。

考研復習備考的時候每個人都需要輔導資料的'幫助，但資料的選擇要合適，可從幾個方面評價：看其是否按考研大綱的要求編寫，看其對基本內容的講述是否深入且易懂，看其層次性是否分明等等，如《線性代數過關與提高》相對來說就適合考生對基礎知識的鞏固及深入理解。

線性代數的主要考點集中在向量組的相關與無關、線性方程組、特征值與特征向量、二次型上，矩陣與行列式摻雜其中。大綱規定的各個考點都有一些分式需要記憶，同時大家還要注意：書中總結出的公式與結論在什么時候可以直接用，什么時候不能直接用。對此，很多同學感到迷惑。這里提醒大家，《線性代數過關與提高》中“內容概述”部分的結論都可直接應用，除非題目本身就是證明該公式或結論，“重要公式與結論”部分的結論在解答題中的某個問題的過程中時可直接用，為保險起見，可注明所用公式的原貌?？陀^題中在不違反邏輯關系前提下所有正確的公式都可用。

考研備考的過程比較長，這是對毅力的考驗。當這場馬拉松賽進行到一半時，考研同路人一個個倒下了，你是否還巍然屹立，堅持前行?堅持了，冠軍就可能屬于你，否則，以前的苦就是浪費。

道理也許人人都懂，關鍵看是否付之行動。成功后有鮮花掌聲，失敗會引來磚頭，你選擇哪條路?

● 線性代數思想總結 ●

考研學子備戰考研的壓力都比較大，在寒假期間都沒有放棄學習的時間。數學作為考研考試中比較重點和難點的科目，很多考生都比較發愁，考研輔導專家為使20考研的學生能在寒假有目標、有方向的進行復習，特意作此文章，以供參考。

考研數學中高等數學內容龐雜，幾天里根本完不成什么，概率統計內容是依賴與高等數學的，線性代數內容較少，而且多數內容不依賴于高等數學。因此從看、線性代數開始復習是比較好的選擇。

數學公式、數學考試大綱、數學復習參考書、十年考研真題解析。

歷年考試大綱都會對考研數學的考試重點、難點做出指示，這是考生在復習之前必須做好的準備，有了他，就有了復習的.方向。

針對大綱中出現的重點和難點，考研學子可以回歸復習教材，把基礎公式、原理等相關知識進行系統的復習，重點大好基礎。

這里的數學練習題，考研教育網專家建議，還是以同濟四版的大學教材為主，前期做教材上的練習題就可以。

● 線性代數思想總結 ●

年度本人在院黨、政領導的正確領導下，在科室全體同志的大力支持配合下，努力學習、積極工作、大膽管理，敢于創新，認真落實院科兩極負責制，帶領全科同志發揚吃苦耐勞、開拓創新、敢于勝利的精神，在醫院的兩個文明建設中取得了一定的成績。

一、認真學習馬列主義、毛澤東思想、鄧小平理論，實踐三個代表重要思想，遵紀守法，清政廉潔。模范遵守院規院紀，服從領導，透明管理。堅持政治理論學習與業務學習相結合，緊跟時代步伐，把握時代脈搏，在醫院由鐵路轉入地方之后，能夠較快地轉變觀念，變壓力為動力，牢固樹立服務意識，大局意識，積極投身醫院和科室的改革，勇于實踐，敢于勝利。發揚奉獻精神，在科室人員減少，任務增加的情況下，調動科室全體同志精誠協作，牢固樹立“院興我榮、院衰我恥”的思想，不計個人得失，確保了年度任務的超額完成。

二、以學習促管理，以管理促效益，以效益促發展。正確處理科室與醫院、科室同事之間的關系。引導科室全體同志正確樹立個人的世界觀、價值觀、人生觀。面對新形勢、新機遇、新挑戰，能夠清醒地認識到強練內功才是生存之道，因此在工作之余努力學習專業理論知識，解決業務上的疑難問題。作為一名管理者，在追求自身素質提高的同時，更高的追求是科室全體素質的全面提高。目前，科室六名同志在原來中專畢業的基礎上，通過自學有三名同志已大專畢業，一名本科在讀，一名大專在讀?？剖疑舷滦纬闪吮?、學、趕、幫、超的濃厚學習氛圍，呈現一派生機勃勃、奮發向上的景象。

三、自覺遵守院規院紀和科室的有關規章制度，上班不遲到、不早退，工作積極主動，認真負責，為了工作加班加點是經常的事，但從沒有向醫院提過非分要求，也從未報過一個加班。在科室管理上，更是以一個黨員的標準嚴格要求自己，率先垂范，要求其他同志做到的自己首先做到，要求別人不做的，自己堅決不做。團結科室同志，積極協作，全面完成了醫院下達的各項任務。在兼職工會工作中，能夠在院黨委、院工會的領導下積極主動開展各項活動，為院工會的工作獻計出力。

四、以技術革新為著力點，促進科室任務超額完成。年度，根據新形勢制定了科室內部獎金分配方案，充分調動了科室人員的工作積極性，全體同志集思廣益，挖潛提效，根據我院的具體情況，增開了金標免疫、糖尿病檢測、torch、rh血型鑒定等21個新項目，服務了臨床、方便了病人、提高了科室檢查能力和個人技能，增加了創收，取得了兩個文明的同步增長和社會效益與經濟效益的雙豐收。

2、順利完成了科室搬遷。年，檢驗科顧全大局，服從醫院統一安排，從病房大樓搬遷至門診大樓，科室全體同志為不影響臨床常規檢驗工作，放棄休息時間，利用雙休日時間，加班加點，順利完成了科室的搬遷工作，不僅做到了藥品、器械無一損壞，而且實現了搬遷工作和日常工作兩不誤。

3、超額完成了全年的醫療任務。年度，科室完成常規總診次兩萬余人次;經濟創收47.3萬余元;為阜陽車輛段、北站體檢約1050人次，實現經濟創收6.6萬元;零星體檢100余人次，創收1000余元;度全年創收54萬余元;全年為醫院創效近40萬;取得了建院以來歷史性突破的可喜成績。

五、存在問題。盡管在年取得了一定的成績，但在科室勞動紀律、規章建制、成本控制、人情檢查等方面仍然存在一些不盡如人意之處，在年的工作中將努力改進。

此次職代會我代表院黨政班子所做的題為《總結經驗，明確任務，開拓創新，再求發展》的工作報告，全面簡要的總結了醫院年所做的主要工作，分析了我院當前管理上存在的問題、差距和面臨的嚴峻形勢，同時對醫院今后的發展戰略提出了明晰的思路，并對今年的重點工作進行了詳盡的部署。通過這個報告，基本上體現了班子和我本人過去一年所做的主要工作，也標志著對醫院今后工作的述職。誠請各位代表在討論時充分發表意見和建議，品頭論足。

職代會前，通過院工會組織的對院行政干部評議，結果反饋后，看到決大多數職工群眾對醫院工作和我本人工作給予了充分肯定、贊譽、鼓勵和支持，從而更加堅定了不負眾望，繼續當好“頭雁”的決心與信心。自己深知，醫院事業的每一個進步與發展，離不開上級黨委的正確領導，離不開院黨政班子整體功能的有效發揮，更離不開全院中層干部和廣大職工群眾的理解、信任、愛護與支持，否則，縱有天大的本事也將一事無成。做為單位的行政“一把手”，自己只不過是在自己的工作各位上，履行組織和全院職工群眾賦予自己的職責，盡了自己應盡的義務。值得欣慰的是，九三中心醫院在我們大家的共同創造下，變得更加強壯、文明，更富競爭實力，在我們的奮斗下，幾年前“四個一流”的夢想，變成了今天的現實。九三醫院的發展史上會永遠銘記我們這代人為之付出的艱辛和努力。

翻過去的一頁已成為歷史，成就只能為將來醫院發展奠基，因為我們所面對的形勢十分嚴峻，醫療市場的競爭態勢將有增無減，容不得我們有絲毫的懈怡，更不能盲目樂觀，忘乎所以。危機、困難和挑戰是客觀存在的，就擺在我們的面前，回避是不可能的，更不能悲觀失望，畏縮不前。唯有面對困難和挑戰，審時度勢，找準問題癥結，認清形勢，看到發展優勢、機遇及有利條件，迎難而上，堅定信心，理清思路，趨利避害，大膽探索，勇于實踐，堅持發展是硬道理，把醫院今后的改革、發展規劃好、落實好。

應該堅信，有黨政班子堅強團結的領導核心，有全院一百多名黨員、中層干部和經過幾年改革鍛煉考驗的全體

職工組成的支持系統;有醫院過去八年改革發展的實踐，我們在人才、技術、設備、管理經驗、資金等方面的積累，醫療?？铺厣男纬?，服務功能、服務質量的改善，醫院的信譽、社會公眾形象的提高;有我們不斷培育升華的九三醫院人的六種精神，我們一定能戰勝任何困難，繼續保持醫院按照良性慣性運行軌道發展，使我們的醫院真正成為技術精湛、管理嚴明、保障有力、環境優美、服務一流，墾區內外人民群眾信賴的人民醫院。

就這次個人述職的機會，想與大家進一步交流思想，袒露心跡，表明決心。去年的12月14日，總局黨委派人來九三對我進行考核，擬到農墾總醫院任職。在此后的兩個月時間里，自己的思想斗爭很激烈，造成很大的思想壓力，也可以說是對人生事業目標追求選擇的考驗和測試。最終，自己和組織上都做出了非常明智的選擇：留在九三醫院，繼續為九三人民服務，為九三中心醫院的發展建設繼續做出貢獻。

經過這次抉擇，通過這段時間與許多關心愛護我的同志、朋友的交流談心，使我進一步懂得了什么是朋友間友誼眷戀的真情流露，什么是同舟共濟后的情同手足，什么是患難與共結成的深情厚誼，更使我明確了今后應怎樣做人、怎樣為官。上級組織的考核，領導、朋友和同志們對我情至意盡的擔憂和挽留，既是對我過去工作的充分肯定，更是信任、關愛和期望。這份真情，這種信任和關愛，將永遠銘刻心中，變為今后做好工作的動力。

借此機會，向八年多來我們風雨同舟、相濡以沫、榮辱與共、相互理解、配合與支持的班子搭檔、中層干部、向支持我和我們工作的全院職工、家屬表示衷心的感謝!

今后的醫院發展戰略和工作思路已經明確，做為行政“一把手”，今后在醫院工作的著力點上還是要堅持抓好四件事：一是抓戰略;二是抓班子;三是抓落實;四是抓廉政。當好院長，首先是加強學習，提高自身素質，先知先覺才能先行，不知不覺永遠不行。要以永遠的憂患意識，自我生存意識，拓荒精神，追求醫院永遠的活力。因為市場唯一不變的法則就是永遠在變，唯有審時度勢，抓住機遇，變在市場前面，才能創造市常還是要干當前，想長遠，未雨綢繆，早做打算，把沖天的奮斗豪情與嚴謹的科學態度相結合，創業不息，自強不息。

醫院不能為社會提供優質服務，就沒有存在的必要，更談不上發展。服務也是一種消費，也包含經濟活動，本身含有價值。其價值的大小，決定你服務質量的高低，決定于社會可接受的程度。今后就是要把生存發展的壓力，變成改善和提高服務動力，堅持質量是生命，醫德是本錢，信譽是效益的觀念，沒有優質服務就沒有工作量。

應始終恪守這樣的信念：醫院的功能就是尊重病人，想方設法為病人看好病，做好服務。首先把“看好病”這一實事辦好，在為病人服好務的問題上，力求“好事辦實”。

在廉政方面還是從自身做起，加強品質、作風、人格修養去表現威信，培養誠實正直、廉潔奉公的品格;兢兢業業，忠于職守的工作態度;嚴于律己，自知之明的姿態;勇擔風險，多謀善斷的作風;容人之過，諒人之短的精神;虛懷若谷，從善如流的素質。付出的辛苦，為了我們大家共同的事業，竭忠盡智，全力以赴，不辜負組織與大家的期望與信任，絕對完全投入，不計個人得失成敗!

● 線性代數思想總結 ●

主要考點有兩個：

一是解的判定與解的結構

二是求解方程

考察的方式還是比較固定，直接給方程討論解的情況、解方程或者通過其他的關系轉化為線性方程組、矩陣方程的形式來考。

06年以來只有11年沒有出大題，其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的判定問題，13年考查的第一道大題考查的形式不是很明顯，但也是線性方程組求解的問題。14年的第一道大題就是線性方程組的問題，15年選擇題考查了解的判定，數二、數三同一個大題里面考查了矩陣方程的問題。16年數一第20題矩陣方程解的判斷和求解，數三第20題與數二第22題直接考線性方程解的判斷和求解，數一第21題第二問解矩陣方程。16年數一、數三第21題與數二第23題第二問直接考矩陣方程解求解，基本都不需要大家做轉換。今年數一、數三第20題、數二第22題第二問題都考了抽象的線性方程的求解問題。

● 線性代數思想總結 ●

● 線性代數思想總結 ●

人的記憶效果隨著時間的推移而迅速下降，這是正常的現象。一是可以通過反復加強記憶，第二種辦法就是加強要點和重點的作用，提綱挈領，從而掌握全局。因此，大家在第一輪全面復習的時候同時就要兼顧復習要點，讓要點成為復習中的“刀刃”，起到提綱挈領、統領全局的作用。那么，考研數學復習中的“刀刃”都有哪些呢?考研輔導專家認為，高等數學是考研數學的重中之重，所以大家在備考高等數學時要特別注意。

大家在復習過程中，要對重要定理、重要的公式或者重要的結論應該經常翻一翻，已經有印象的，反復練習可以加深印象，使自己保持一個良好的狀態。參加碩士研究生入學考試這種選拔性的考試跟體育競技有些類似，想要保持一個良好的狀態，必須把要考的內容在腦海里面反復強調。很多同學說把代數復習完以后，高等數學忘了，復習這個忘了那個，這個很正常，不要因為這個原因，就認為考不好數學，每個正常的人都會有這樣的`感覺?？佳休o導專家提醒考生，要解決這個困難，只有通過反復復習，學習英語亦是如此，通過反復使自己能夠隨時調用數學知識。記憶的關鍵就在于重復，如果大家能夠把學習變成一種習慣，那勢必會讓你的復習錦上添花，也不會對學習產生抵觸情緒，這樣一來，效率和效果自然會高上無數倍。

● 線性代數思想總結 ●

行列式

一、行列式概念和性質

1、逆序數：所有的逆序的總數

2、行列式定義：不同行不同列元素乘積代數和

3、行列式性質：（用于化簡行列式）

（1）行列互換（轉置），行列式的值不變

（2）兩行（列）互換，行列式變號

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數k，等于用數k乘此行列式

（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。

（6）兩行成比例，行列式的值為0。

二、重要行列式

1、上（下）三角（主對角線）行列式的值等于主對角線元素的乘積

2、副對角線行列式的值等于副對角線元素的乘積乘

3、Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則

4、n階（n≥2）范德蒙德行列式

★5、對角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：

三、按行（列）展開

1、按行展開定理：

（1）任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和等于行列式的值

（2）行列式中某一行（列）各個元素與另一行（列）對應元素的代數余子式乘積之和等于0

四、克萊姆法則

1、克萊姆法則：

（1）非齊次線性方程組的'系數行列式不為0，那么方程為唯一解

（2）如果非齊次線性方程組無解或有兩個不同解，則它的系數行列式必為0

（3）若齊次線性方程組的系數行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。

矩陣

一、矩陣的運算

1、矩陣乘法注意事項：

（1）矩陣乘法要求前列后行一致；

（2）矩陣乘法不滿足交換律；（因式分解的公式對矩陣不適用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)時，可以用交換律）

（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

二、矩陣的逆運算

1、逆的求法：

（1）A為抽象矩陣：由定義或性質求解

（2）A為數字矩陣：（A|E）→初等行變換→（E|A-1）

三、矩陣的初等變換

1、初等行（列）變換定義：

（1）兩行（列）互換；

（2）一行（列）乘非零常數c

（3）一行（列）乘k加到另一行（列）

?小學作文網優質收藏:
• 入黨思想總結?|?總結思想方面?|?個人總結思想方面?|?思想總結報告?|?線性代數思想總結?|?線性代數思想總結

★四、矩陣的秩

1、秩的定義：非零子式的最高階數

注：

（1）r（A）=0意味著所有元素為0，即A=O

（2）r（An×n）=n（滿秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；

（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r階子式非零且所有r+1子式均為0。

2、秩的求法：

（1）A為抽象矩陣：由定義或性質求解；

（2）A為數字矩陣：A→初等行變換→階梯型（每行第一個非零元素下面的元素均為0），則r（A）=非零行的行數

五、伴隨矩陣

六、分塊矩陣

1、分塊矩陣的乘法：要求前列后行分法相同。

2、分塊矩陣求逆：

向量

一、向量的概念及運算

1、長度定義：||α||=

二、線性組合和線性表示

1、線性表示的充要條件：

非零列向量β可由α1，α2，…，αs線性表示

(1)←→非齊次線性方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。

★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗）

2、線性表示的充分條件：

若α1，α2，…，αs線性無關，α1，α2，…，αs，β線性相關，則β可由α1，α2，…，αs線性表示。

3、線性表示的求法：（大題第二步）

設α1，α2，…，αs線性無關，β可由其線性表示。

（α1，α2，…，αs|β）→初等行變換→（行最簡形|系數）

行最簡形：每行第一個非0的數為1，其余元素均為0

三、線性相關和線性無關

1、線性相關注意事項：

（1）α線性相關←→α=0

（2）α1，α2線性相關←→α1，α2成比例

2、線性相關的充要條件：

向量組α1，α2，…，αs線性相關

（1）←→有個向量可由其余向量線性表示；

（2）←→齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；

★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s 即秩小于個數

3、線性相關的充分條件：

（1）向量組含有零向量或成比例的向量必相關

（4）以少表多，多必相關

★推論：n+1個n維向量一定線性相關

4、線性無關的充要條件：

向量組α1，α2，…，αs線性無關

（1）←→任意向量均不能由其余向量線性表示；

（2）←→齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解

（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s

特別地，n個n維向量α1，α2，…，αn線性無關

←→r（α1，α2，…，αn）=n ←→|α1，α2，…，αn |≠0 ←→矩陣可逆

5、線性無關的充分條件：

（1）整體無關，部分無關

（2）低維無關，高維無關

（3）正交的非零向量組線性無關

（4）不同特征值的特征向量無關

6、線性相關、線性無關判定

（1）定義法

★（2）秩：若小于階數，線性相關；若等于階數，線性無關

四、極大線性無關組與向量組的秩

1、極大線性無關組不唯一

2、向量組的秩:極大無關組中向量的個數成為向量組的秩

對比：矩陣的秩:非零子式的最高階數

★注:

向量組α1，α2，…，αs的秩與矩陣A=（α1，α2，…，αs）的秩相等

★3、極大線性無關組的求法

（1）α1，α2，…，αs為抽象的：定義法

（2）α1，α2，…，αs為數字的：（α1，α2，…，αs）→初等行變換→階梯型矩陣

則每行第一個非零的數對應的列向量構成極大無關組

五、Schmidt正交化

1、Schmidt正交化

設α1，α2，α3線性無關

（1）正交化

令β1=α1

（2）單位化

線性方程組

一、解的判定與性質

1、齊次方程組：

（1）只有零解←→r（A）=n（n為A的列數或是未知數x的個數）

（2）有非零解←→r（A）＜n

2、非齊次方程組：

（1）無解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1

（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n

（3）無窮多解←→r（A）=r（A|b）＜n

3、解的性質：

（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，則k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，則ξ+η是Ax=b的解

（3）若η1，η2是Ax=b的解，則η1-η2是Ax=0的解

二、基礎解系

★1、重要結論：（證明也很重要）

設A是m×n階矩陣，B是n×s階矩陣，AB=O

（1）B的列向量均為方程Ax=0的解

（2）r（A）+r（B）≤n

2、總結：基礎解系的求法

（1）A為抽象的：由定義或性質湊n-r（A）個線性無關的解

（2）A為數字的：A→初等行變換→階梯型

自由未知量分別取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基礎解系

三、解的結構（通解）

1、齊次線性方程組的通解（所有解）

設r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r為Ax=0的基礎解系，

則Ax=0的通解為k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r （其中k1，k2，…，kn-r為任意常數）

2、非齊次線性方程組的通解

設r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r為Ax=0的基礎解系，η為Ax=b的特解，

則Ax=b的通解為η+ k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r （其中k1，k2，…，kn-r為任意常數）

特征值與特征向量

一、矩陣的特征值與特征向量

1、特征值、特征向量的定義：

設A為n階矩陣，如果存在數λ及非零列向量α，使得Aα=λα，稱α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量。

2、特征多項式、特征方程的定義：

|λE-A|稱為矩陣A的特征多項式（λ的n次多項式）。

|λE-A |=0稱為矩陣A的特征方程（λ的n次方程）。

注:特征方程可以寫為|A-λE|=0

3、重要結論：

（1）若α為齊次方程Ax=0的非零解，則Aα=0·α，即α為矩陣A特征值λ=0的特征向量

（2）A的各行元素和為k，則(1，1，…，1)T為特征值為k的特征向量。

（3）上（下）三角或主對角的矩陣的特征值為主對角線各元素。

△4、總結：特征值與特征向量的求法

（1）A為抽象的：由定義或性質湊

（2）A為數字的：由特征方程法求解

5、特征方程法：

（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩陣A的n個特征值λ1，λ2，…，λn

注：n次方程必須有n個根(可有多重根，寫作λ1=λ2=…=λs=實數，不能省略)

（2）解齊次方程（λiE-A）=0，得屬于特征值λi的線性無關的特征向量，即其基礎解系（共n-r（λiE-A）個解）

二、相似矩陣

1、相似矩陣的定義：

設A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得B=P-1AP，稱A與B相似，記作A~B

2、相似矩陣的性質

（1）若A與B相似，則f（A）與f（B）相似

（2）若A與B相似，B與C相似，則A與C相似

（3）相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項式、特征方程、特征值、跡（即主對角線元素之和）

三、矩陣的相似對角化

1、相似對角化定義：如果A與對角矩陣相似，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ=

稱A可相似對角化。

2、相似對角化的充要條件

（1）A有n個線性無關的特征向量

（2）A的k重特征值有k個線性無關的特征向量

3、相似對角化的充分條件：

（1）A有n個不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無關）

（2）A為實對稱矩陣

4、重要結論：

（1）若A可相似對角化，則r（A）為非零特征值的個數，n-r（A）為零特征值的個數

（2）若A不可相似對角化，r（A）不一定為非零特征值的個數

四、實對稱矩陣

1、性質

（1）特征值全為實數

（2）不同特征值的特征向量正交

（3）A可相似對角化，即存在可逆矩陣P使得P-1AP=Λ

（4）A可正交相似對角化，即存在正交矩陣Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ

二次型

一、二次型及其標準形

1、二次型：

（1）一般形式

（2）矩陣形式（常用）

2、標準形：

如果二次型只含平方項，這樣的二次型稱為標準形（對角線）

3、二次型化為標準形的方法：

（1）配方法：

★（2）正交變換法：

二、慣性定理及規范形

1、定義：

正慣性指數：標準形中正平方項的個數稱為正慣性指數，記為p；

負慣性指數：標準形中負平方項的個數稱為負慣性指數，記為q；

2、慣性定理：

二次型無論選取怎樣的可逆線性變換為標準形，其正負慣性指數不變。

注：

（1）由于正負慣性指數不變，所以規范形唯一。

（2）p=正特征值的個數，q=負特征值的個數，p+q=非零特征值的個數=r（A）

三、合同矩陣

1、定義：

A、B均為n階實對稱矩陣，若存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，稱A與B合同

△2、總結：n階實對稱矩陣A、B的關系

（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值

（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正負慣性指數←→相同的正負特征值的個數

（3）A、B等價（B=PAQ）←→r（A）=r（B）

注：實對稱矩陣相似必合同，合同必等價

四、正定二次型與正定矩陣

1、正定的定義

二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，則稱二次型正定，并稱實對稱矩陣A是正定矩陣。

2、n元二次型xTAx正定充要條件：

（1）A的正慣性指數為n

（2）A與E合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CTC或CTAC=E

（3）A的特征值均大于0

（4）A的順序主子式均大于0（k階順序主子式為前k行前k列的行列式）

3、總結：二次型正定判定（大題）

（1）A為數字：順序主子式均大于0

（2）A為抽象：①證A為實對稱矩陣：AT=A；②再由定義或特征值判定

4、重要結論：

（1）若A是正定矩陣，則kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定

（2）若A、B均為正定矩陣，則A+B正定

● 線性代數思想總結 ●

[摘要]

《線性代數》是工科高校中頗為重要的一門課，也是較抽象難學的一門課程。本文從理論與實踐兩方面以作者的體會與認識，提出《線性代數》教學抽象概念的講解應注意的幾點問題，闡釋了如何進行《線性代數》課程的課堂教學，并且能收到良好的教學效果。

《線性代數》是高等院校理、工類專業重要的數學基礎課。它不但廣泛應用于概率統計、微分方程、控制理論等數學分支，而且其知識已滲透到自然科學的其它學科，如工程技術、經濟與社會科學等領域。不僅如此，這門課程對提高學生的數學素養、訓練與提高學生的抽象思維能力與邏輯推理能力都有重要作用。但由于“線性代數”本身的特點，對其內容學生感到比較抽象，要深入理解與掌握代數的基本概念與基本理論學生感到相當吃力、難以理解。因此，為培養與提高學生應用數學知識、解決實際問題的能力，進一步研究這門課程的教學思想和方法對提高教學效果甚為重要。

線性代數這一抽象的數學理論和方法體系是由一系列基本概念構成的。行列式、矩陣、逆矩陣、初等矩陣、轉置、線性表示、線性相關、特征值與特征向量等抽象概念根植于客觀的現實世界，有著深刻的實際背景，即是比較直接抽象的產物。高等數學與初等數學在含義與思維模式上的變化必然會在教學中有所反映。線性代數作為中學代數的繼續與提高，與其有著很大不同，這不僅表現在內容上，更重要的是表現在研究的觀點和方法上。在研究過程中一再體現由具體事物抽象出一般的概念，再以一般概念回到具體事物去的辨證觀點和嚴格的邏輯推理。新生剛進入大學，其思維方式很難從初等數學的那種直觀、簡潔的方法上升到線性代數抽象復雜的方式，故思維方式在短期內很難達到線性代數的要求。大部分同學習慣于傳統的公式，用公式套題，不習慣于理解定理的實質，用一些已知的定理、性質及結論來推理、解題等。

在概念的教學中，教師要研究概念的認識過程的特點和規律性，根據學生的認識能力發展的規律來選擇適當的教學方式。因此，在概念教學中應注意以下幾點。

盡管抽象性是《線性代數》這門課的突出特點，直觀性教學同樣可應用到這門課的教學上，且在教學中占有重要地位。歐拉認為：“數學這門科學，需要觀察，也需要實驗，模型和圖形的廣泛應用就是這樣的例子。”直觀有助于概念的引入和形成。如介紹向量的概念，盡管抽象，但它具有幾何直觀背景，在二維空間、三維空間中，向量都是有向線段，由此教學中可從向量的幾何定義出發講解抽象到現有形式的過程，降低學生抽象思考的難度。

教師在教學中應充分利用學生已有的數學現實和生活經驗，引導和啟發學生進行概念發現和創造。如在講解n階行列式，首先從學生已掌握的二元、三元一次方程組的求解入手，然后求出方程組的解由二階、三階行列式表示，分析二階、三階行列式的特點。

二階行列式，不難看出：它含有兩項，若不考慮符號，每項均是來自不同行不同列的兩個元素的乘積，那么會提出這樣的問題：右邊各項之前所帶的正負號有什么規律？同樣的，三階行列式若不考慮符號，它含有3！=6項，每項也是來自不同行不同列的三個元素的乘積，并且包含了所有由不同行不同列的三個元素的組合。為解決n階行列式，又引出排列的概念、性質，介紹奇偶排列后，又回到我們提出的問題上，可以發現，行標按自然排列，列標排列為奇排列時，該項為負；列標排列為偶排列時，該項為正（問題得到解決）。經過這一過程，學生對n階行列式已有接觸和了解，此時可給出n階行列式定義，這樣一來，學生就容易理解和掌握n階行列式的性質了。

R.斯根普指出：“個別的概念一定要融入與其它概念合成的概念結構中才有效用?！睌祵W中的概念往往不是孤立的，理解概念間的聯系既能促進新概念的引入，也有助于接近已學過概念的本質及整個概念體系的建立。如矩陣的秩與向量組的秩的聯系：矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩；矩陣行(列)滿秩，與向量組的線性相關和線性無關也有一定的聯系。

學習重在理解，學生必須在理解、領悟其深刻含義的基礎上記憶定義、定理及一些結論，才能收到理想的效果。線性代數的最大特點就是：知識體系是一環扣一環，環環相連的`。前面的知識是后面學習的基礎，如用初等變換求矩陣的秩熟練與否，直接影響求向量組的秩及極大無關組，進一步影響到求由向量組生成的向量空間的基與維數；又如求解線性方程組的通解熟練與否，會影響到后面特征向量的求解，以及利用正交變換將二次型化為標準型等。因此，學習線性代數，一定要堅持溫故而知新的學習方法，及時復習鞏固，為此，教師課前的知識回顧以及學生提前預習是十分必要的。

一定量的典型練習題能有助于學生深化對所學知識的理解，培養學生一題多解的能力，解題后反思，及時總結解題思路和方法。如證明抽象矩陣的可逆，就有很多方法，一是用定義。二是用秩的有關命題。三是借助于特征值理論。四是證明矩陣的行列式不為零等。

興趣是最好的老師。教師一方面在傳授知識，另一方面要鼓勵學生有針對性的設計他們的目標，這樣，他們才肯自覺鉆研，樂于鉆研。同時，課堂教學中可選擇近年來研究生入學考題及一些與實際聯系較緊的題目講解或練習，以激發學生的學習欲望，并給他們帶來成功的滿足。此外，還可以適當介紹一些有趣的應用典范或教學史來激發學生的學習熱情，提高他們的學習興趣。

多媒體教學成為當前高校教學模式的重要手段。教師只有把傳統教學手段、教師自己的特色和多媒體輔助教學三者有機結合起來，才能真正發揮多媒體課堂教學的效果?？傊?，教師在教學中所做的一切，其目的應在于既教會他們有用的知識，又教會學生有益的思考方式及良好的思維習慣。

參考文獻：

[1]張向陽．線性代數教學中的幾點體會．山西財經大學學報(高等教育版)，.

[2]于朝霞．線性代數與空間解析幾何．北京：中國科學技術出版社，.

● 線性代數思想總結 ●

1、行列式的重點是計算，利用性質熟練準確的計算出行列式的值。

2、矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運算，其運算分兩個層次：

（1）矩陣的符號運算。

（2）具體矩陣的數值運算。

3、關于向量，證明（或判別）向量組的線性相關（無關），線性表出等問題的關鍵在于深刻理解線性相關（無關）的概念及幾個相關定理的掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。

4、向量組的極大無關組，等價向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關系也是重點內容之一。用初等行變換是求向量組的極大無關組及向量組和矩陣秩的有效方法。

5、于特征值、特征向量，要求基本上有三點：

（1）要會求特征值、特征向量，對具體給定的數值矩陣，一般用特征方程OλE-AO=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義Aξ=λξ，同時還應注意特征值和特征向量的性質及其應用。

（2）有關相似矩陣和相似對角化的問題，一般矩陣相似對角化的條件。實對稱矩陣的相似對角化及正交變換相似于對角陣，反過來，可由A的特征值，特征向量來確不定期A的參數或確定A，如果A是實對稱陣，利用不同特征值對應的.特征向量相互正交，有時還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對應的特征向量，從而確定出A.

（3）相似對角化以后的應用，在線性代數中至少可用來計算行列式及An.

6、將二次型表示成矩陣形式，用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個：

（1）化二次型為標準形，這主要是正交變換法（這和實對稱陣正交相似對角陣是一個問題的兩種提法），在沒有其他要求的情況下，用配方法得到標準形可能更方便些。

（2）二次型的正定性問題，對具體的數值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關矩陣的正定性時，可利用標準形，規范形，特征值等到證明，這時應熟悉二次型正定有關的充分條件和必要條件。

● 線性代數思想總結 ●

考研數學包括：線性代數、高等數學、概率論與數理統計，高等數學占考研數學的大部分比例，而線性代數所占的分值比例是22%.線性代數知識點多、定理多、概念多、符號多、運算規律多，知識點之間的聯系非常緊密。復習線性代數的時候，要對基本概念、基本定理、結論及其應用、各種運算規律及基本題型的計算方法都要掌握。下面針對各章節進行考點的總結，并給出復習重難點。

行列式的核心內容是求行列式，包括具體行列式的計算和抽象行列式的計算，其中具體行列式的計算方法主要有兩種，第一種方法是三角化法，即利用行列式的性質把復雜的行列式化為上三角或者下三角來計算，第二種方法是降價法，即利用行列式按行（列）展開定理把高階行列式降為低階行列式來計算。

首先是矩陣定義，它是一個數表。這個與行列式有明顯的區別。然后看運算，常見的運算是求逆，轉置，伴隨，冪等運算。要注意它們的綜合性。還有一個重點就是常見矩陣類型。大家特別要注意實對稱矩陣，正交矩陣，正定矩陣以及秩為1的矩陣。最后就是矩陣秩。這是一個核心和重點。矩陣的秩是整個線性代數的核心。要清楚，秩的定義，有關秩的很多結論。針對結論，大家最好能知道他們是怎么來的，自己動手算一遍。要注意矩陣分塊的原則，分塊矩陣的初等變換與簡單矩陣初等變換的區別和聯系。

向量組的線性相關性證明、線性表出等問題，解決此類問題的關鍵在于深刻理解向量組的線性相關性概念，掌握線性相關性的幾個相關定理，另外還要注意推證過程中邏輯的正確性，還要善于使用反證法。向量組的極大無關組、等價向量組、向量組及矩陣秩的概念，以及它們之間的相互關系。要求會用矩陣的初等變換求向量組的極大線性無關組以及向量組或者矩陣的秩。

掌握特征值與特征向量的概念與性質；數值型矩陣特征值與特征向量的計算方法；理解掌握矩陣乘法運算與特征向量的.聯系；抽象矩陣行列式的計算；特征值重數與無關特征向量的關系。

二次型這一章的重點實質還是實對稱矩陣的正交相似對角化問題。要掌握二次型的矩陣表示，用矩陣的方法研究二次型的問題?；涡蜑闃藴市危褐饕抢谜蛔儞Q法化二次型為標準型，這是考研數學線性代數的重點大題題型，考生一定要掌握其做題的基本步驟?；涡蜑闃藴市偷膶嵸|也是實對稱矩陣的正交相似對角化問題。二次型的正定性問題：對具體的數值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象矩陣的正定性判斷可以通過利用標準形，規范形，特征值等得到證明，這時應熟悉二次型正定有關的充分條件和必要條件。

● 線性代數思想總結 ●

《線性代數Ⅱ》復習要點

教材：工程數學《線性代數》第五版，同濟大學數學系編

1、掌握行列式的相關性質與計算

2、掌握行列式的按行按列展開法則

3、掌握矩陣的各種運算及性質，掌握分塊對角陣的行列式、逆矩陣的計算

4、掌握矩陣可逆的判定方法

5、掌握方陣A與A及伴隨矩陣A之間的關系，以及三者行列式之間的關系

6、掌握矩陣的初等變換及初等矩陣，掌握初等矩陣的性質

7、掌握矩陣秩的定義及相關性質

8、掌握矩陣方程的解法

9、掌握向量組線性相關無關的性質

10、掌握向量組的秩的定義及相關性質，會求向量組的秩及最大無關組

11、掌握線性方程組是否有解的判別，會解線性方程組，例如解系數含參變量的線性方程組

12、掌握線性方程組解的結構，會利用方程組解的結構寫方程組的通解

13、掌握方陣的特征值與特征向量的定義及性質，會求方陣的特征值、特征向量

參考例題和習題：

第21頁例13，第25頁例16，第26頁6題（2，3），第27頁8題（2），第28頁9題，第41頁例9，第44頁例10，第50頁例16，第54頁4題，第54頁5題，第55頁14題，第56頁15題，第56頁24題，第56頁26題，第65頁例3，第75頁例13，第78頁6題，第79頁12題，第80頁16題，第80頁18題，第90頁例7，第107頁5，第109頁27題，第110頁32題，第118頁例5，第119頁例7，第120頁例8，第134頁6題，第135頁7題，?1?

● 線性代數思想總結 ●

·每一個線性空間都有一個基。

·對一個 n 行 n 列的非零矩陣 A，如果存在一個矩陣 B 使 AB = BA =E(E是單位矩陣)，則 A 為非奇異矩陣(或稱可逆矩陣)，B為A的逆陣。

·矩陣非奇異(可逆)當且僅當它的行列式不為零。

·矩陣非奇異當且僅當它代表的線性變換是個自同構。

·矩陣半正定當且僅當它的每個特征值大于或等于零。

·矩陣正定當且僅當它的每個特征值都大于零。

·解線性方程組的克拉默法則。

● 線性代數思想總結 ●

1、認真學習貫徹 “三個代表”重應思想及黨xx屆三中全會精神，在實際工作中深刻領會黨中央確定各項工作方針深刻內涵和新時期加強兩個“務必”重大意義，以及“八個堅持、八個反對”精神實質，把思想和行動統一到黨中央路線方針政策上來，創新發展。

2、注重企業文化建設，提倡“誠信、情感、責任和程序”八字管理理念，主張“以人為本，守法誠信”，引導廣大員工的“以企為家，共同發展”。人是生產力中最活躍因素，是企業振興發展源泉和根本動力，只有企業全體員工的把聰明才智充分發揮出來，并應用到企業管理與生產經營中去，企業才能發展;只有企業提供寬松敞亮舞臺，員工的人生價值才能夠得以施展和實現()。因此，我們應依靠員工的促進企業發展，就應培育先進企業文化，引導員工的把“誠信、情感、責任和程序”貫穿于整體工作中，發揮才智、敬業愛崗、求真務實、規范操作，通過宣傳、培訓以及制度建設，強化項目管理，推行“質量、環境保護、職健安全”三位一體標準化作業程序等措施，促進各項目在安全、質量、工期等方面全面兌現對業主承諾，為企業樹立良好信譽，為共同事業長遠發展打下基礎。

3、加強民主管理，以真誠和友誼建立良好同事關系和社會關系，風雨同舟。一是從職工關心“熱點”、“難點”、“疑點”入手，深入實際地解決好企業經營管理與改革發展等重大問題，做好領導干部廉潔自律以及有關職工切身利益方面工作。二是注重維護企業領導班子團結。大廈之成,非一木之材;大海之潤,非一流之歸。團結班子成員，形成既有分工又有合作、坦誠相待、合作共事、齊心協力干事業良好氛圍，做到目標一致、職責互補、榮譽共享，重大問題、重大事項都能事前溝通，會前通氣，充分聽取意見，集思廣益，發揮整體合力，改進工作，促進發展。


???4、不急功近利，從長遠著眼，堅持理論聯系實際，扎實開展管理調研工作。作為企業總經理，不但應具備這個崗位所需應一切素質，還應把握各方面信息，保持對事物發展規律敏銳感覺，使思想觀念與時俱進，把理論知識、市場規律與企業管理實際相結合，才能領導企業不被激烈市場競爭所淘汰。因此，去年我充分運用國家政策、法規，依法開展財務監督、審計監督、質量監督和效能監察。把長線工作與短期具體工作相結合，深入分析企業管理、項目管理工作中思想政治、人事管理、機構設置、標準化程序貫徹、合同管理、設備管理等工作不足，從企業長遠發展角度，初步確定了深化企業管理改革方案。之所以開展這項工作，是因為我們項目管理任務逐年增加，但在市場競爭日趨激烈情況下，項目利潤越來越少，改革創新、挖潛增效勢在必行。

5、高度重視經營開發工作。招攬足夠施工任務是企業開展其他一切工作前提,如何擴大施工份額，是我們應該不斷探索永恒課題。今年，經與企業班子成員協商：我們決定加大投入，多種渠道多種方式并行，實行重點地區、重點項目重點追蹤，班子成員分片負責經營方針，取得了可喜成績。與此同時，我們不斷召開經營開發會議，通過會議引導經營開發工作人員吸取教訓、總結經驗、調整投標思路和策略、增加責任感，促進經營開發工作能夠適應市場變化，以達到提高經營開發管理水平和中標率，拓寬經營范圍和施工領域目。

推薦閱讀: 數控銑工實習總結（必備18篇） 走在前作表率工作總結（必備18篇） 足球體能教練的工作總結（必備18篇） 學校安全通知（必備18篇） 思想匯報緩刑人員思想總結范文大全(必備七篇) 最新游泳的作文（必備18篇）

為了您方便瀏覽更多的線性代數思想總結網內容，請訪問線性代數思想總結

熱門標簽: 思想匯報總結 思想政治表現總結 一篇游戲作文 個人思想匯報總結 大學生入黨思想總結 校運動會活動總結五篇