優秀作文|初二數學一次函數知識點總結（系列11篇）

初二數學一次函數知識點總結（系列11篇）。

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二次函數的基本表示形式為y=ax2+bx+c(a≠0)二次函數最高次必須為二次，二次函數的圖像是一條對稱軸與y軸平行或重合于y軸的拋物線。它的定義是一個二次多項式(或單項式)。

如果令y值等于零，則可得一個二次方程。該方程的解稱為方程的根或函數的零點。

交點式：y=a(x-x?)(x-x?) 函數與圖像交于(x?，0)和(x?，0)

二次函數的一般形式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)

二次函數的頂點式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k為常數),頂點坐標為(h,k)

y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)

1.二次函數圖像是軸對稱圖形，對稱軸與二次函數圖像唯一的交點為二次函數圖象的頂點P。

a,b同號，對稱軸在y軸左側; a,b異號，對稱軸在y軸右側。

2.二次函數圖像有一個頂點P，坐標為P(h,k)。

3.二次項系數a決定二次函數圖像的開口方向和大小。

當a>0時，二次函數圖象向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則二次函數圖像的開口越小。

4.二次函數圖像與y軸交于(0,C)點 注意：頂點坐標為(h,k)，與y軸交于(0,C)。

加左減右，加上減下。

y=a(x+b)2+c，只要將y=ax2的函數圖像按以下規律平移。

(1)b>0時，圖像向左平移b個單位(加左)。

(2)b<0時，圖像向右平移b個單位(減右)。

(3)c>0時，圖像向上平移c個單位(加上)。

(4)c<0時，圖像向下平移c個單位(減下)。

(1)數軸的概念：規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸.

(2)數軸上的點：所有的有理數都可以用數軸上的點表示，但數軸上的點不都表示有理數.(一般取右方向為正方向，數軸上的點對應任意實數，包括無理數.)

(3)用數軸比較大?。阂话銇碚f，當數軸方向朝右時，右邊的數總比左邊的數大。

課前認真預習.預習的目的是為了能更好得聽老師講課，通過預習，掌握度要達到百分之八十.帶著預習中不明白的問題去聽老師講課，來解答這類的問題.預習還可以使聽課的整體效率提高.具體的預習方法：將書上的題目做完，畫出知識點，整個過程大約持續15-20分鐘.在時間允許的情況下，還可以將練習冊做完.

讓數學課學與練結合.在數學課上，光聽是沒用的.當老師讓同學去黑板上演算時，自己也要在草稿紙上練.如果遇到不懂的難題，一定要提出來，不能不求甚解.否則考試遇到類似的題目就可能不會做.聽老師講課時一定要全神貫注，要注意細節問題，否則“千里之堤，毀于蟻穴”.

課后及時復習.寫完作業后對當天老師講的內容進行梳理，可以適當地做25分鐘左右的課外題.可以根據自己的需要選擇適合自己的課外書.其課外題內容大概就是今天上的課.

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正切函數要領：對于任意一個實數x，都對應著唯一的角(弧度制中等于這個實數)，而這個角又對應著唯一確定的正切值tanx與它對應，按照這個對應法則建立的函數稱為正切函數。

正切函數

正切函數是三角函數的一種

英文：tangent

簡寫：tan

中文:正切

概念

把∠A的對邊與∠A的鄰邊的比叫做∠A的正切，

記作 tan=∠A的對邊/∠A的鄰邊=a/b

銳角三角函數

tan15°=2-√3

tan30°=√3/3

tan45°=1

tan60°=√3

形式是f(x)=tanx

它與正弦函數的最大區別是定義域的不連續性.

正切函數的性質

1、定義域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}

2、值域：實數集R

3、奇偶性：奇函數

4、單調性：在區間(-π/2+kπ,π/2+kπ)，k∈Z上都是增函數

5、周期性：最小正周期π(可用π/|ω|來求)

6、最值：無最大值與最小值

7、零點：kπ, k∈Z

8、對稱性：

軸對稱：無對稱軸

中心對稱：關于點(kπ/2,0)對稱 k∈Z

實際上，正切曲線除了原點是它的對稱中心以外,所有x=(n/2)π點都是它的對稱中心.

正切函數誘導公式

tan(2π+α)=tanα

tan(-α) =-tanα

tan(2π-α)=-tanα

tan(π-α) =-tanα

tan(π+α) =tanα

溫馨提示：正切函數是區別于正弦函數的又一三角函數。

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1二次函數及其圖像

二次函數(quadraticfunction)是指未知數的最高次數為二次的多項式函數。二次函數可以表示為f(x)=ax^2bxc(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。

一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

一般式

y=ax∧2;bxc(a≠0,a、b、c為常數)，頂點坐標為(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);

頂點式

y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k為常數)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k為常數)，頂點坐標為(-m，k)對稱軸為x=-m，頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數y=ax∧2的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式;

交點式

y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A(x1，0)和B(x2，0)的拋物線];

重要概念：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。

牛頓插值公式(已知三點求函數解析式)

y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引導出交點式的系數a=y1/(x1*x2)(y1為截距)

求根公式

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

x是自變量，y是x的二次函數

x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

(即一元二次方程求根公式)

求根的方法還有因式分解法和配方法

在平面直角坐標系中作出二次函數y=2x的平方的圖像，

可以看出，二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線。不同的二次函數圖像

如果所畫圖形準確無誤，那么二次函數將是由一般式平移得到的。

注意：草圖要有1本身圖像，旁邊注明函數。

2畫出對稱軸，并注明X=什么

3與X軸交點坐標，與Y軸交點坐標，頂點坐標。拋物線的性質

軸對稱

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

頂點

2.拋物線有一個頂點P，坐標為P(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)

當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2;-4ac=0時，P在x軸上。

開口

3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

決定對稱軸位置的因素

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號

當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是-b2a="">0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號

可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數解析式(一次函數)的斜率k的值?？赏ㄟ^對二次函數求導得到。

決定拋物線與y軸交點的因素

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于(0，c)

拋物線與x軸交點個數

6.拋物線與x軸交點個數

Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ=b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

當a>0時，函數在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{x|x<-b/2a}上是減函數，在

{x|x>-b/2a}上是增函數;拋物線的開口向上;函數的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax^2c(a≠0)

特殊值的形式

7.特殊值的形式

①當x=1時y=abc

②當x=-1時y=a-bc

③當x=2時y=4a2bc

④當x=-2時y=4a-2bc

二次函數的性質

8.定義域：R

值域：(對應解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷)①[(4ac-b^2)/4a，

正無窮);②[t，正無窮)

奇偶性：當b=0時為偶函數，當b≠0時為非奇非偶函數。

周期性：無

解析式：

①y=ax^2bxc[一般式]

⑴a≠0

⑵a>0，則拋物線開口朝上;a<0，則拋物線開口朝下;

⑶極值點：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ>0，圖象與x軸交于兩點：

([-b-√Δ]/2a，0)和([-b√Δ]/2a，0);

Δ=0，圖象與x軸交于一點：

(-b/2a，0);

Δ<0，圖象與x軸無交點;

②y=a(x-h)^2k[頂點式]

此時，對應極值點為(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;

③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式(雙根式)](a≠0)

對稱軸X=(X1X2)/2當a>0且X≧(X1X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當a>0且X≦(X1X2)/2時Y隨X

的增大而減小

此時，x1、x2即為函數與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連

用)。

交點式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道兩個x軸交點和另一個點坐標設交點式。兩交點X值就是相應X1X2值。

26.2用函數觀點看一元二次方程

1.如果拋物線與x軸有公共點，公共點的橫坐標是，那么當時，函數的值是0，因此就是方程的一個根。

2.二次函數的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根。

26.3實際問題與二次函數

在日常生活、生產和科研中，求使材料最省、時間最少、效率最高等問題，有些可歸結為求二次函數的最大值或最小值。

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八年級數學下冊《一次函數》知識點總結

一.常量、變量：

在一個變化過程中,數值發生變化的量叫做 變量 ；數值始終不變的量叫做 常量 。

二、函數的概念：

函數的定義：一般的，在一個變化過程中,如果有兩個變量x與，并且對于x的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，是x的函數．

三、函數中自變量取值范圍的求法：

（1）用整式表示的函數，自變量的取值范圍是全體實數。

（2）用分式表示的函數，自變量的取值范圍是使分母不為0的一切實數。

（3）用寄次根式表示的函數，自變量的取值范圍是全體實數。

用偶次根式表示的函數，自變量的取值范圍是使被開方數為非負數的一 切實數。

（4）若解析式由上述幾種形式綜合而成，須先求出各部分的取值范圍，然后再求其公共范圍，即為自變量的取值范圍。

（5）對于與實際問題有關系的，自變量的取值范圍應使實際問題有意義。

四、 函數圖象的定義：一般的，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么在坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的.圖象．

五、用描點法畫函數的圖象的一般步驟

注意：列表時自變量由小到大，相差一樣，有時需對稱。

2、描點：（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點。

。

六、函數有三種表示形式：

（圖像法 （3）解析式法

七、正比例函數與一次函數的概念：

一般地，形如=x(為常數，且≠0)的函數叫做正比例函數.其中叫做比例系數。

一般地，形如=x+b (,b為常數，且≠0)的函數叫做一次函數.

當b =0 時,=x+b 即為 =x,所以正比例函數，是一次函數的特例.

八、正比例函數的圖象與性質：

（1)圖象:正比例函數= x ( 是常數，≠0)) 的圖象是經過原點的一條直線，我們稱它為直線= x 。

(2)性質:當>0時,直線= x經過第三，一象限，從左向右上升，即隨著x的增大也增大；當<0時,直線= x經過二,四象限，從左向右下降，即隨著 x的增大反而減小。

九、求函數解析式的方法:

待定系數法：先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知的系數，從而具體寫出這個式子的方法。

1.一次函數與一元一次方程：從“數”的角度看x為何值時函數= ax+b的值為0．

2.求ax+b=0(a, b是常數，a≠0)的解，從“形”的角度看，求直線= ax+b與 x 軸交點的橫坐標

3.一次函數與一元一次不等式：

解不等式ax+b＞0(a，b是常數，a≠0) ．從“數”的角度看，x為何值時函數= ax+b的值大于0．

所對應的的橫坐標的取值范圍．

十、一次函數與正比例函數的圖象與性質

一 次 函 數

概 念如果=x+b（、b是常數，≠也叫正比例函數.

圖 像一條直線

性 質＞0時，隨x的增大(或減小)而增大(或減小)；

＜0時，隨x的增大(或減小)而減小(或增大).

直線=x+b（≠>二、三象限；

（三、四象限；

（三象限；

（二、四象限；

（三、四象限；

（四象限。

一次函數表達式的確定求一次函數=x+b（、b是常數，≠時，只需一個點即可.

5.一次函數與二元一次方程組：

解方程組

從“數”的角度看，自變量（x）為何值時兩個函數的值相等．并

求出這個函數值

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數學來源于生活，我們學習函數的概念，不妨借助生活的經驗來理解函數關系，我們生活在運動變化著的世界里，可以說變量無處不在。讓學生自己多思考，多列舉一些生活中的實例，歸納出形如y=kx+b(k≠0,b為常數)的式子叫做一次函數。那我們知道一個x確定后只有唯一的y與之對應，就是說可以一對一如y=2x,也可以多對1如y=x,但不能一對多如y=x,有些時候還以圖像的形式考，我們就要看x=a與圖像的交點唯一與否，唯一就是函數，不唯一就不是。

要了解函數是由數到形，再由形到數，做到數、形的有機結合，這樣才能更好地掌握一次函數的性質。首先要了解一次函數是一條直線，其次要明確如果k﹥0，一次函數過第一、三象限(當b﹥0時，過第一、二、三象限，當b﹤0時，過第一、三、四象限)，y隨x的增大而增大;如果k﹤0，一次函數過第二、四象限(當b﹥0時，過第一、二、四象限，當b﹤0時過，第二、三、四象限)，y隨x的增大而減少。

一次函數和代數式以及方程有著密不可分的聯系。如一次函數和正比例函數仍然是函數，同時，等號的兩邊又都是代數式。需要注意的是，與一般代數式有很大區別。首先，一次函數和正比例函數都只能存在兩個變量，而代數式可以是多個變量;其次，一次函數中的變量指數只能是1，而代數式中變量指數還可以是1以外的數。另外，一次函數解析式也可以理解為二元一次方程。

1、一次函數解析式的結構特征：kx+b是關于x的一次二項式，其中常數b可以是任意實數，一次項系數k必須是非零數，k≠0，因為當k=0時，y=b(b是常數)，由于沒有一次項，這樣的函數不是一次函數;而當b=0，k≠0，y=kx既是正比例函數，也是一次函數。

2、一次函數與正比例函數的區別與聯系：(1)從解析式看：y=kx+b(k≠0，b是常數)是一次函數;而y=kx(k≠0，b=0)是正比例函數，顯然正比例函數是一次函數的特例，一次函數是正比例函數的推廣。(2)從圖象看：正比例函數y=kx(k≠0)的圖象是過原點(0，0)的一條直線;而一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是過點(0，b)且與y=kx平行的一條直線。

1、依題意，設出含有待定系數的函數解析式;

2、把已知條件(自變量與函數對應值)代入解析式，得到關于待定系數的方程(組);

3、解方程(組)，求出待定系數;

4、將求得的待定系數的值代回所設的函數解析式，從而得到所求函數解析式。

函數有三要素：定義域、值域、解析式。我們考慮函數問題的時候首先就要考慮定義域，很多應用題是分段函數，那么我們就要求出各個線段和射線的解析式并指出x的取值范圍，很多時候就要注意考慮結合一元一次不等式組。在考慮問題時還要注意如何寫每段的解析式。有的題是給出圖寫解析式，有的題是解析式與圖結合，看圖特別要注意起點、折點。那如何去解決實際問題呢?

1、分清哪些是已知量，哪些是未知量，尤其要弄清哪兩種量是相關聯的量，且其中一種量因另一種量的變化而變化;

2、找出具有相關聯的兩種量的等量關系之后，明確哪種量是另一種量的函數;

3、在實際問題中，一般存在著三種量，如距離、時間、速度等等，在這三種量中，當且僅當其中一種量時間(或速度)不變時，距離與速度(或時間)才成正比例，也就是說，距離(s)是時間(t)或速度(v)的正比例函數;

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1、一次函數解析式的結構特征：kx+b是關于x的一次二項式，其中常數b可以是任意實數，一次項系數k必須是非零數，k≠0，因為當k=0時，y=b(b是常數)，由于沒有一次項，這樣的函數不是一次函數;而當b=0，k≠0，y=kx既是正比例函數，也是一次函數。

例、下列函數關系中，哪些屬于一次函數，其中哪些又屬于正比例函數?

(1)面積為10cm2的三角形的底a(cm)與這邊上的高h(cm);

(2)汽車每小時行40千米，行駛的路程s(千米)和時間t(小時).

分析：確定函數是否為一次函數或正比例函數，就是看它們的解析式經過整理

后是否符合y=kx+b(k≠0)或y=kx(k≠0)形式，所以此題必須先寫出函數解析式后解答.

解：(1)不是一次函數.(4)s=40t,s既是t的一次函數又是正比例函數.

2、一次函數與正比例函數的區別與聯系：(1)從解析式看：y=kx+b(k≠0，b是常數)是一次函數;而y=kx(k≠0，b=0)是正比例函數，顯然正比例函數是一次函數的特例，一次函數是正比例函數的推廣。(2)從圖象看：正比例函數y=kx(k≠0)的圖象是過原點(0，0)的一條直線;而一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是過點(0，b)且與y=kx平行的一條直線。

例、已知函數y=(k-2)x+2k+1，若它是正比例函數，求k的值.若它是一次函數，求：k的值.

分析：求根據一次函數和正比例函數的定義,易得k的值.

解：若y=(k-2)x+2k+1是正比例函數,則2k+1=0,即k=.

若y=(k-2)x+2k+1是一次函數,則k-2≠0,即k≠2.

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數學要點：二次函數圖象和性質是二次函數的圖象是對稱軸平行于y軸的拋物線。接下來為大家帶來的是初中數學知識點總結之二次函數。

二次函數

提醒大家：上面的內容是二次函數知識點，請大家做好筆記了。

初中數學知識點總結：平面直角坐標系

下面是對平面直角坐標系的內容學習，希望同學們很好的掌握下面的內容。

平面直角坐標系

平面直角坐標系：在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系。

水平的數軸稱為x軸或橫軸，豎直的數軸稱為y軸或縱軸，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。

平面直角坐標系的要素：

①在同一平面

②兩條數軸

③互相垂直

④原點重合

三個規定：

①正方向的規定橫軸取向右為正方向，縱軸取向上為正方向

②單位長度的規定；一般情況，橫軸、縱軸單位長度相同；實際有時也可不同，但同一數軸上必須相同。

③象限的規定：右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限。

相信上面對平面直角坐標系知識的講解學習，同學們已經能很好的掌握了吧，希望同學們都能考試成功。

初中數學知識點：平面直角坐標系的構成

對于平面直角坐標系的構成內容，下面我們一起來學習哦。

平面直角坐標系的構成

在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系。通常，兩條數軸分別置于水平位置與鉛直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數軸的正方向。水平的數軸叫做X軸或橫軸，鉛直的數軸叫做Y軸或縱軸，X軸或Y軸統稱為坐標軸，它們的.公共原點O稱為直角坐標系的原點。

通過上面對平面直角坐標系的構成知識的講解學習，希望同學們對上面的內容都能很好的掌握，同學們認真學習吧。

初中數學知識點：點的坐標的性質

下面是對數學中點的坐標的性質知識學習，同學們認真看看哦。

點的坐標的性質

建立了平面直角坐標系后，對于坐標系平面內的任何一點，我們可以確定它的坐標。反過來，對于任何一個坐標，我們可以在坐標平面內確定它所表示的一個點。

對于平面內任意一點C，過點C分別向Ｘ軸、Ｙ軸作垂線，垂足在Ｘ軸、Ｙ軸上的對應點a，b分別叫做點C的橫坐標、縱坐標，有序實數對（a，b）叫做點C的坐標。

一個點在不同的象限或坐標軸上，點的坐標不一樣。

希望上面對點的坐標的性質知識講解學習，同學們都能很好的掌握，相信同學們會在考試中取得優異成績的。

初中數學知識點：因式分解的一般步驟

關于數學中因式分解的一般步驟內容學習，我們做下面的知識講解。

因式分解的一般步驟

如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以上的多項式，

通常采用分組分解法，最后運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個范圍內因式分解，應該是指在有理數范圍內因式分解，因此分解因式的結果，必須是幾個整式的積的形式。

相信上面對因式分解的一般步驟知識的內容講解學習，同學們已經能很好的掌握了吧，希望同學們會考出好成績。

初中數學知識點：因式分解

下面是對數學中因式分解內容的知識講解，希望同學們認真學習。

因式分解

因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式的變形叫把這個多項式因式分解。

因式分解要素：

①結果必須是整式

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②結果必須是積的形式

③結果是等式

④因式分解與整式乘法的關系：m(a+b+c)

公因式：一個多項式每項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式。

公因式確定方法：

①系數是整數時取各項最大公約數。

②相同字母取最低次冪

③系數最大公約數與相同字母取最低次冪的積就是這個多項式各項的公因式。

提取公因式步驟：

①確定公因式。

②確定商式

③公因式與商式寫成積的形式。

分解因式注意；

①不準丟字母

②不準丟常數項注意查項數

③雙重括號化成單括號

④結果按數單字母單項式多項式順序排列

⑤相同因式寫成冪的形式

⑥首項負號放括號外

⑦括號內同類項合并。

通過上面對因式分解內容知識的講解學習，相信同學們已經能很好的掌握了吧，希望上面的內容給同學們的學習很好的幫助。

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1、正比例函數和一次函數的概念

一般地，若兩個變量x，y間的關系可以表示成(k，b為常數，k0)的形式，則稱y是x的一次函數(x為自變量，y為因變量)。

特別地，當一次函數中的b=0時(即)(k為常數，k0)，稱y是x的正比例函數。

2、一次函數的圖像：所有一次函數的圖像都是一條直線

3、一次函數、正比例函數圖像的主要特征：一次函數的圖像是經過點(0，b)的直線;正比例函數的圖像是經過原點(0，0)的直線。

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1.已知一個正比例函數的圖象經過點（-2，4），則這個正比例函數的表達式是 。

2.若函數y= -2xm+2是正比例函數，則m的值是 .

3.已知一次函數y=kx+5的圖象經過點（-1，2），則k= .

4.作出函數y= 12 x+1的圖象.

5.已知y -2與x成正比,且當x=1時,y= -6.

(1)求y與x之間的函數關系式;

(2)若點(a,2)在這個函數圖象上,求a.

6.某商店出售一種瓜子，其售價y（元）與瓜子質量x（千克）之間的關系如下表

由上表得y與x之間的關系式。

7.如圖是某出租車單程收費y(元)與行駛路程x(千米)之間的函數關系圖象,根據圖象回答下列問題:

(1)當行使8千米時,收費應為 元;

(2)從圖象上你能獲得哪些信息?(請寫出2條):

(3)求出收費y(元)與行使x(千米)(x≥3)之間的函數關系式.

8、王教授和孫子小強經常一起進行早鍛煉，主要活動是爬山．有一天，小強讓爺爺先上，然后追趕爺爺．圖中兩條線段分別表示小強和爺爺離開山腳的距離（米）與爬山所用時間（分）的關系（從小強開始爬山時計時）．

(1)小強讓爺爺先上多少米？

(2)山頂離山腳的距離有多少米？誰先爬上山頂？

(3)小強經過多少時間追上爺爺?

A．（0，2） B．（2，0） C.（-1，0） D.（0，-1）

2. 已知直線y=kx+b不經過第三象限則下列結論正確的是（ ）

A．k＞0, b＞0; B．k＜0, b＞0; C．k＜0, b＜0; D．k＜0, b≥0

(1)若函數圖象經過原點,求m的值;

(2)若這個函數是一次函數,且y隨著x的增大而減小,求m的取值范圍.

5. 已知一次函數圖象經過（3, 5）和（－4，－9）兩點，

①求此一次函數的解析式；

②若點（a，2）在該函數的'圖象上，試求a的值。

6．如圖一次函數y=kx+b的圖象經過點A和點B．

(2)求出當x= 時的函數值．

7、如圖，是某汽車行駛的路程S(km)與時間t(min)的函數關系圖.觀察圖中所提供的信息，解答下列問題：

（2）汽車在中途停了多長時間？

（3）當16≤t≤30時，求S與t的函數關系式.

8、為加強公民的節水意識，某城市制定了以下用水收費標準：每戶每月用水未超過7立方米時，每立方米收費1．0元并加收0．2元的城市污水處理費；超過7立方米的部分每立方米收費1．5元并加收0．4元的城市污水處理費．設某戶每月用水量為x(立方米)，應交水費為y(元)．

(1)分別寫出未超過7立方米和多于7立方米時，y與x的函數關系式；

(2)如果某單位共有50戶，某月共交水費541．6元，且每戶的用水量均未超過10立方米，求這個月用水未超過7立方米的用戶最多可能有多少戶？

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一、說教材

《一次函數》是蘇教版初中數學八年級上冊第六單元第二節的內容。從知識內容來說,本課是對函數的進一步認識與綜合，進一步發展學生的抽象邏輯思維，滲透建模思想。函數本身是反映現實世界變化規律的重要模型，教材在編排上充分體現了從實際生活情境中抽象數學問題，建立模型并形成概念的過程，并將正比例函數納入一次函數的研究中，力圖通過實例從代數表達式的角度認識一次函數。從教材體系來說，之前學生已經掌握了變量之間的關系，初步體會了函數概念的基礎之上的教學。通過本節課的學習可以培養學生函數思想和建模意識，為之后探究一次函數圖像、二次函數等奠定了扎實的基礎。本課的知識起到了承前啟后的作用，也符合學生的認知規律。

二、說學情

八年級的學生好奇、好動、好表現，應盡量讓學生發表自己的想法。因此本節課既要考慮學生的認知思維特點，也要積極關注學生的已有知識儲備。就現階段的學生而言，已經掌握了兩個變量的關系，能列出變量間的關系表達式，但是借助生活情境，正確將實際問題抽象為函數模型是有一定困難的，因此需要積極引導學生學習好的數學方法，進一步體會變量和函數之間的關系 更多說課稿

因此在教學過程中教師要充分借助具體情境來激發學生學習興趣的同時設置問題來引發學生思考，類比觀察、探究規律，巧妙地建立概念。

三、說教學目標

教學目標是教學活動實施的方向和預期達到的結果，是一切教學活動的出發點和歸宿。精心設計了如下的教學目標：

(一)知識與技能

理解一次函數和正比例函數的概念，體會之間的聯系，并能根據已知生活情境給出一次函數解析表達式，發展抽象概括能力。

(二)過程與方法

經歷動手試驗、規律探索的活動過程，提高抽象思維能力，并借助于將實際生活情境轉化為數學問題，滲透建模思想。

(三)情感態度與價值觀

在知識的探求過程中提高學習數學的興趣，提高數學的應用意識。

四、說教學重難點

本著新課程標準，吃透教材，了解學生特點的基礎上我確定了以下重難點：

(一)教學重點

一次函數和正比例函數的概念。

(二)教學難點

能根據具體生活情景給出具體一次函數解析表達式。

五、說教法和學法

在教學過程中不僅要使學生“知其然”，還要使學生“知其所以然”。我們在師生極為主體也為客體的原則下展現獲取理論知識，解決實際問題方法的思維過程。

基于本節課內容的特點，我主要采用的教法有：

情境教學法：借助具體情境等活動形式獲取知識，以學生為主體，使學生的獨立探索性得到充分發揮。

講解法：通過口頭講解、扼要板書，向學生描述情境，敘述事實，闡明規律，有利于系統獲得新知。

練習法：學生自主練習，夯實理論知識的基礎上實現靈活運用。

在教學中，精心設計每個教學環節，引導學生積極地參與討論、合作交流，各抒己見。這樣既能啟迪思維，又增加了合作的意識，形成平等、寬松、民主的學習氛圍。同時也能讓學生動手、動腦去探索發現，并解決問題，真正體現以學生為主體的教學理念。在特定的情境中學習能激發學生學習興趣，激發學生思維，轉變學生的學習方式，變要我學為我要學。因此在學法上我采用的是小組討論法、分析歸納法、總結反思法。

六、說教學過程

教學過程是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程，具體教學過程如下：

(一)導入新課

在這一環節，我會借助生活中所熟悉的情境引發學生獨立思考,并要求學生嘗試給出具體函數解析表達式。

問題1: 我校初二年級組織學生到距離學校6千米的動物園參觀,小茗同學沒趕上學校的包車,于是打算改乘出租車。出租車的收費標準如下：行駛3千米以內(含3千米)收費7元;超過3千米，每增加1千米，另收1.6元。思考：行駛千米數x和車費y(元)之間存在的函數關系?

問題2：某彈簧的自然長度為3厘米，在彈性限度內，所掛物體的質量x每增加1千克，彈簧長度y增加0.5厘米，思考：x與y的函數解析表達式?

問題3：給汽車加油的加油槍流量為25L/min，用y(L)表示油箱中的油量，x(min)表示加油的時間，如果加油前油箱里沒有油，那么在加油過程中，油箱里的油量與加油時間之間有怎樣的函數關系?如果加油前油箱里有6L油，函數關系式又是?

此時學生將生活實際問題抽象成數學模型，給出函數解析表達式: 1、y=7+1.6(x-3)=1.6x+2.2;2、y=3+0.5x;3、y=25x、y=25x+6。下面要求學生對上述解析表達式觀察并嘗試指出變量與常量、因變量與自變量，對表達式進行總結歸納，得出共同特征: 左邊都是因變量y，右邊是含自變量x的代數式，自變量和因變量的指數都是一次。在此基礎上提問，如果將上述解析表達式中的常量用k和b來替換，如何書寫函數解析表達式來引導學生總結歸納、建立概念，順勢引入課題。

(設計意圖：在這一環節，借助生活中所熟悉的情境來構建數學模型，嘗試給出函數解析表達式，總結歸納，建立概念。一方面可以回顧之前所學的函數知識，指出變量與常量、自變量與因變量，另一方面可以培養學生總結歸納，概括能力。)

(二)探究新知

在這一環節，就前面所提出的問題建立概念：一般地，形如y=kx+b(k、b為常數，且k≠0)的函數叫做一次函數，其中x是自變量，y是x的函數。特別地，當b=0時，y=kx(k為常數，且k≠0)，y叫做x的正比例函數。緊接著對正比例函數和一次函數解析表達式的結構特點引導學生嘗試總結其聯系和區別，總結得出：正比例函數是特殊的一次函數，而一次函數不一定是正比例函數。

接下來借助師生活動，要求學生用函數表達式表示下列變化過程中兩個變量之間的關系，并指出其中的一次函數、正比例函數，能根據所給條件寫出簡單的一次函數表達式。

1、 正方形面積S隨邊長x變化而變化;

2、 正方形周長l隨邊長x變化而變化;

3、 長方形的長為常量a時，面積S隨寬x變化而變化;

4、 高速列車以300km/h的速度駛離A站，列車行駛的路程y(km)隨行駛時間t(h)變化而變化;

5、如圖，A、B兩站相距200km，一列火車從B站出發以120km/h的速度駛向C站，火車離A站的路程y(km)隨行駛時間t(h)變化而變化;

學生獨立思考，踴躍回答，發現1不是一次函數;2是正比例函數，解析表達式為l=4x;

3是正比例函數，S=ax，其中a為常數;4是正比例函數，y=300x;5是一次函數，y=200+120t。

緊接著乘勝追擊要求學生找出上述一次函數解析表達式中的k、b的值。在學生回答的

基礎上，即時鞏固一次函數的概念，并強化對k、b的認識。

為了夯實對一次函數概念的理解，并發展建模意識，啟發學生思考獨立思考，小組合作，并實時點撥，最后請小組代表發表組內結果。出示例題：一盤蚊香長105cm，點燃后，每小時縮短10cm，

1、寫出蚊香點燃后的長度y(cm)與蚊香燃燒時間t(h)之間的函數表達式;

2、該盤蚊香可燃燒多長時間?

學生分析題干中的已知條件，建立等量關系，得出蚊香點燃后，每小時縮短10cm，t小時將縮短10t cm，所以蚊香點燃后的長度與燃燒時間之間的函數表達式為：y=105-10t;若蚊香燃盡，即y=0，由105-10t=0可得，

，該盤蚊香可燃燒10.5小時。

(設計意圖：本環節嘗試引導學生在層層設置的問題串中尋求答案，認識一次函數，并能找出其中k、b的值，從而讓學生真正體會一次函數的數學應用價值。此外借助師生活動、獨立思考，嘗試發現，理解一次函數和正比例函數的差異，加以區別。此過程充分調動學生學習數學的積極性，也有利于學生在新知中盡情地探索。此外通過設置活動，引導學生動手操作、動腦思考、小組討論來發現數學問題，并自主驗證結論，最后師生共同歸納得出結論。整個環節讓學生明晰了數學問題的探究過程。)

(三)深化新知

請學生思考：正比例函數和之前所學的正比例是否為同一概念?

學生結合之前的知識，體會正比例函數是指形如y=kx+b(k、b為常數，且k≠0)，且b=0時，此時y=kx(k為常數，且k≠0)，則y叫做x的正比例函數，而正比例是兩個變量之間的關系，當一種量變化，另一種量也隨之變化，如果這兩種量相對應的兩個數的比值一定，則這兩個量就成為成正比例的量，它們的關系叫做成正比關系。

(設計意圖：本環節在夯實學生舊知的基礎上對學生易混淆的知識點進行整理，有利于學生建立良好的邏輯知識體系。)

(四)鞏固提高

在這一環節，我會設置隨堂練習：

我國目前實行個人工資、薪金所得稅征收辦法規定：月收入低于3500元的部分不收稅;月收入超過3500元但低于4000元的部分征收3%的個人所得稅，如某人每月收入為3900元，則他應繳個人工資、薪金所得稅為(3900-3500)*3%=12元。

1、當月收入大于3500元而小于4000元時，寫出應繳納的所得稅y(元)與收入x(元)

之間的關系式;

2、某人月收入為3850元，他應繳納的所得稅是多少元?

要求學生獨立完成，同桌互相交流，教師適時糾正答案。

(設計意圖：通過這樣的變式練習，深化認識一次函數的同時，也容易激發起學生的探索欲望。而且這個環節教師充分指導學生匯報展示，完成任務，將學習的主動權完全還給學生，讓學生真正成為學習的主人。)

(五)小結作業

在小結環節，我會讓學生回答以下問題：通過這節課的學習，你有什么收獲?你對今天的學習還有什么疑問嗎?

(設計意圖：通過小結，引導學生從知識內容和學習過程兩個方面總結自己的收獲。小學的課堂應著重讓學生體會知識的獲得過程，并能真正學會將所學的知識應用到實際生活，能發現生活中的數學問題。)

而作業環節，請同學們完成練習題目，實現對課堂知識點的實時鞏固。

1、在函數y=-2x-5中，k=，b=;

2、在一幢25層高的建筑物，如果底層高6米，以上每層高4米，求樓高h(米)與層數n之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍。

七、說板書設計

我的板書本著簡潔、直觀、清晰的原則，這就是我的板書設計。

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